Question

11．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，SD=DC=2，E是SC的中点，作EF⊥SB交SB于F．
（Ⅰ）求证：SA∥平面EDB；
（Ⅱ）求证：SB⊥平面EFD；
（Ⅲ）求三棱锥E-BFD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AC交BD于点O，连接OE．然后利用三角形中位线的性质可得OE∥SA，再由线面平行的判定定理证得SA∥平面BDE；
（Ⅱ）由SD=DC，E是SC的中点可得DE⊥SC，再由面面垂直的判定和性质得到BC⊥平面SDC，从而得到BC⊥DE，进一步得到SB⊥DE，结合已知EF⊥SB，由线面垂直的判定得结论；
（Ⅲ）由（Ⅱ）△DEF为直角三角形，通过解三角形求得两直角边长，再求出高BF，结合V_E-BFD=V_B-DEF求得三棱锥E-BFD的体积．

解答 （Ⅰ）证明：如图，
连接AC交BD于点O，连接OE．
∵点O、E分别为AC、SC的中点，
∴OE∥SA，又OE?平面BDE，SA?平面BDE，
∴SA∥平面BDE；
（Ⅱ）证明：∵SD=DC，E是SC的中点，∴DE⊥SC，
又SD⊥底面ABCD，∴平面SDC⊥平面ABCD，
∵底面ABCD是正方形，∴BC⊥平面SDC，
∴BC⊥DE，
又SC∩BC=C，∴DE⊥平面SBC，
又SB?平面SBC，∴SB⊥DE，
又EF⊥SB，
EF∩ED=E，
∴SB⊥平面EFD；
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知：△DEF为直角三角形，
∵SD=DC=2，E为SC中点，∴DE=$\sqrt{2}$，
Rt△SFE∽Rt△SCB，∴EF=$\frac{SE}{SB}•BC$，
$SE=\sqrt{2}$，$SB=\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}=2\sqrt{3}$，
∴$EF=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}×2=\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴${S}_{△DEF}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$SF=\sqrt{S{E}^{2}-E{F}^{2}}=\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{6}}{3}）^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$BF=SB-SF=2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
∴${V}_{E-BFD}={V}_{B-DEF}=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{5\sqrt{3}}{3}=\frac{5}{9}$．

点评 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．