Question

3．已知：不等式组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x+{y}^{2}≥0}\\{1≤x≤2}\\{-1≤y≤1}\end{array}\right.$所表示的平面区域为Ω，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）是Ω内任意一点，则z=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂的最大值是2．

Answer 1

分析 画出不等式组表示的可行域，化简所求表达式利用基本不等式求解最值．

解答 解：不等式组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x+{y}^{2}≥0}\\{1≤x≤2}\\{-1≤y≤1}\end{array}\right.$转化为：$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）}^{2}+{y}^{2}≥1\\ 1≤x≤2\\-1≤y≤1\end{array}\right.$，如图：
P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）是Ω内任意一点，则z=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂，
∵-1≤y≤1，∴y₁y₂≤1，∵x₁+x₂≥2$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$．
z=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=y₁y₂+1+x₁x₂-（x₁+x₂）
≤2+x₁x₂-2$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$
=$（\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}-1）^{2}+1$．
x₁x₂≤4．
$1≤\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}≤2$．
z≤2．
∴z=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂的最大值是2．
故答案为2

点评 本题考查线性规划的应用，考查基本不等式以及线性规划，考查分析问题解决问题的能力．