Question

18．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{4}$，（1-a_n）a_n+1=$\frac{1}{4}$．令b_n=a_n-$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求证：数列$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$为等差数列；
（Ⅱ）求证：$\frac{a_2}{a_1}+\frac{a_3}{a_2}+…+\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}＜n+\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件对关系式进行恒等变换，会进一步利用定义证明数列是等差数列．
（2）利用（1）的结论，进一步求出数列的通项公式，对关系式进行恒等变换，最后利用裂项相消法求出数列的和．

解答 解：（1）已知数列满足关系式：（1-a_n）a_n+1=$\frac{1}{4}$．，
所以：1-a_n=$\frac{1}{4{a}_{n+1}}$，
则：a_n-1=-$\frac{1}{4{a}_{n+1}}$，
所以：a_n-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4{a}_{n+1}}$=$\frac{2{a}_{n+1}-1}{4{a}_{n+1}}$=$\frac{2{（a}_{n+1}-\frac{1}{2}）}{4{a}_{n+1}}$

则：$\frac{1}{{a}_{n}-\frac{1}{2}}$=$\frac{2{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-\frac{1}{2}}$=$\frac{2{a}_{n+1}-1+1}{{a}_{n+1}-\frac{1}{2}}$=2+$\frac{1}{{a}_{n+1}-\frac{1}{2}}$
由于：b_n=a_n-$\frac{1}{2}$
所以：b_n+1=a_n+1-$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{{b}_{n+1}}$-$\frac{1}{{b}_{n}}$=-2（常数）
所以：数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}是等差数列．
（2）由（1）得：$\frac{1}{{a}_{n}-\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{{a}_{1}-\frac{1}{2}}$-2（n-1）
整理得：a_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{n}{n+1}$）
所以：$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{n（n+2）}$=1+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
S_n=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$+$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$
=（1+1+…+1）+$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=n+$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=n+$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
＜n+$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查的知识要点：递推关系式的恒等变换，利用定义法证明数列是等差数列，裂项相消法的应用．属于中等题型．