Question

7．如图，在三棱锥P-ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=3，PB=2，PC=1．设M是底面ABC内一点，定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、P分别是三棱锥M-PAB、三棱锥M-PBC、三棱锥M-PCA的体积．若f（M）=（$\frac{1}{2}$，x，y），且$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{y}$≥18恒成立，则正实数a的最小值为4．

Answer 1

分析 先根据三棱锥的特点求出其体积，然后利用基本不等式求出$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{y}$的最小值，建立关于a的不等关系，解之即可．

解答 解：∵PA、PB、PC两两垂直，且PA=3．PB=2，PC=1．
∴V_P-ABC=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×3×2×1=1=$\frac{1}{2}$+x+y
即x+y=$\frac{1}{2}$，则2x+2y=1
$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{y}$=（$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{y}$）（2x+2y）=2+2a+$\frac{2y}{x}$+$\frac{2ax}{y}$≥2+2a+4$\sqrt{a}$≥18
解得a≥4
∴正实数a的最小值为4
故答案为：4．

点评 本题主要考查了棱锥的体积，同时考查了基本不等式的运用，是题意新颖的一道题目，属于中档题．