Question

19．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且sin2A+sin2B+sin2C=$\frac{1}{2}$，面积S∈[1，2]，则下列不等式一定成立的是（　　）

• A． （a+b）＞16$\sqrt{2}$
• B． bc（b+c）＞8
• C． 6≤abc≤12
• D． 12≤abc≤24

Answer 1

分析 利用和差化积可得：sin2A+sin2B+sin2C=4sinCsinAsinB，可得sinCsinAsinB=$\frac{1}{8}$，设外接圆的半径为R，利用正弦定理可得及S=$\frac{1}{2}absinC$，可得sinAsinBsinC=$\frac{S}{2{R}^{2}}$=$\frac{1}{8}$，即R²=4S，由于面积S满足1≤S≤2，可得2≤R≤$2\sqrt{2}$，即可判断出．

解答 解：∵sin2A+sin2B+sin2C=2sin（A+B）cos（A-B）+2sinCcosC=2sinC[cos（A-B）-cos（A+B）]=4sinCsinAsinB，
∴4sinCsinAsinB=$\frac{1}{2}$，即sinCsinAsinB=$\frac{1}{8}$，
设外接圆的半径为R，
由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$=2R，
由S=$\frac{1}{2}absinC$，
可得sinAsinBsinC=$\frac{S}{2{R}^{2}}$=$\frac{1}{8}$，
即R²=4S，
∵面积S满足1≤S≤2，
∴4≤R²≤8，即2≤R≤$2\sqrt{2}$，
由sinAsinBsinC=$\frac{1}{8}$可得8≤abc$≤16\sqrt{2}$，显然选项C，D不一定正确，
A．ab（a+b）＞abc≥8，即ab（a+b）＞8，但ab（a+b）＞16$\sqrt{2}$，不一定正确，
B．bc（b+c）＞abc≥8，即bc（b+c）＞8，正确，
故选：B．

点评 本题考查了三角函数和差化积、三角形的面积计算公式、正弦定理、三角形三边大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．