Question

8．已知a、b是实数，a≠0，函数f（x）=ax²+$\frac{b}{x}$（x＞0）．
（1）试就a、b的取值，讨论f（x）的零点个数；
（2）若函数g（x）=f（x）-f（2）在区间（0，2）内有零点，求$\frac{b}{a}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）=ax²+$\frac{b}{x}$（x＞0），分b=0；a＞0，b＞0；a＜0，b＜0；a＞0，b＜0；a＜0，b＞0讨论，从而确定零点的个数；
（2）化简g（x）=f（x）-f（2）=ax²+$\frac{b}{x}$-（4a+$\frac{b}{2}$）=a（x-2）（x+2）-$\frac{b}{2x}$（x-2）=（x-2）[a（x+2）-$\frac{b}{2x}$]；从而化条件为a（x+2）-$\frac{b}{2x}$=0在（0，2）内有解，即$\frac{b}{a}$=2x（x+2）=2（x+1）²-2，从而求$\frac{b}{a}$的取值范围．

解答 解：（1）当b=0时，f（x）=ax²在（0，+∞）上没有零点，
当a＞0，b＞0时，f（x）=ax²+$\frac{b}{x}$＞0恒成立，故没有零点；
当a＜0，b＜0时，f（x）=ax²+$\frac{b}{x}$＜0恒成立，故没有零点；
当a＞0，b＜0时，令f（x）=ax²+$\frac{b}{x}$=0得，
ax³=-b，
故x=$\root{3}{-\frac{b}{a}}$，函数f（x）=ax²+$\frac{b}{x}$有且只有一个零点，
当a＜0，b＞0时，令f（x）=ax²+$\frac{b}{x}$=0得，
ax³=-b，
故x=$\root{3}{-\frac{b}{a}}$，函数f（x）=ax²+$\frac{b}{x}$有且只有一个零点．
综上所述，当b=0或a、b同号时，f（x）没有零点，
当a、b异号时，f（x）有且只有一个零点．
（2）g（x）=f（x）-f（2）=ax²+$\frac{b}{x}$-（4a+$\frac{b}{2}$）
=a（x-2）（x+2）-$\frac{b}{2x}$（x-2）
=（x-2）[a（x+2）-$\frac{b}{2x}$]；
∵函数g（x）=f（x）-f（2）在区间（0，2）内有零点，
∴a（x+2）-$\frac{b}{2x}$=0在（0，2）内有解，
即$\frac{b}{a}$=2x（x+2）=2（x+1）²-2，
∵x∈（0，2），
∴2（x+1）²-2∈（0，16）；
故$\frac{b}{a}$的取值范围为（0，16）．

点评 本题考查了函数性质的应用及函数零点与方程的根的关系应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于中档题．