Question

20．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-2x+3．
（1）如果函数g（x）的单调递减区间为（-1，$\frac{2}{3}$），求函数y=g（x）的图象在点P（-$\frac{1}{2}$，g（-$\frac{1}{2}$））处的切线方程；
（2）若不等式2f（x）≤g′（x）+3恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出g（x）的导函数，令导函数小于0得到不等式的解集，得到相应方程的两个根，将根代入，求出a的值，得到g（x）的导数在x=-1的值即曲线的切线斜率，利用点斜式求出切线的方程．
（2）求出不等式，分离出参数a，构造函数h（x），利用导数求出h（x）的最大值，令a大于等于最大值，求出a的范围．

解答 解：（1）g′（x）=3x²+2ax-2，
由题意3x²+2ax-2＜0的解集是：-1＜x＜$\frac{2}{3}$，
即3x²+2ax-1=0的两根分别是：x=-1，x=$\frac{2}{3}$．
将x=-1或x=$\frac{2}{3}$代入方程3x²+2ax-2=0得a=-$\frac{1}{2}$．
∴g（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+3，
∴g′（x）=3x²-x-2，∴g′（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{3}{4}$，
∴点P（-$\frac{1}{2}$，g（-$\frac{1}{2}$））处的切线斜率k=g′（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{3}{4}$，
∵g（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{15}{4}$，
∴函数y=g（x）的图象在点P（-$\frac{1}{2}$，$\frac{15}{4}$）处的切线方程为：
y-$\frac{15}{4}$=-$\frac{3}{4}$（x+$\frac{1}{2}$），即6x+8y-27=0．
（2）∵2f（x）≤g′（x）+3，
即：2xlnx≤3x²+2ax+1对x∈（0，+∞）上恒成立
可得a≥lnx-$\frac{3}{2}$x-$\frac{1}{2x}$对x∈（0，+∞）上恒成立
设h（x）=lnx-$\frac{3}{2}$x-$\frac{1}{2x}$，则h′（x）=-$\frac{（x-1）（3x+1）}{{2x}^{2}}$，
令h′（x）=0，得x=1，x=-$\frac{1}{3}$（舍）
当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0
∴当x=1时，h（x）取得最大值-2
∴a≥-2．
∴a的取值范围是[-2，+∞）．

点评 解决不等式恒成立问题，常用的方法是分离出参数，构造新函数，求出新函数的最值，得到参数的范围．