Question

5．已知函数f（x）=x³-3x²+ax（a∈R）
（1）求函数y=f（x）的单调区间；
（2）当a≥2时，求函数y=|f（x）|在0≤x≤1上的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，讨论判别式小于或等于0，和大于0，令导数大于0，得增区间；令导数小于0，得减区间；
（2）由（1）讨论当a≥3时，当2≤a＜3时，求得函数的单调区间，通过函数值的符号，去绝对值符号，即可得到最大值．

解答 解：（1）函数f（x）=x³-3x²+ax的导数为f′（x）=3x²-6x+a，
判别式△=36-12a，
当△≤0时，即a≥3，f′（x）≥0恒成立，f（x）为增函数；
当a＜3时，即△＞0，3x²-6x+a=0有两个实根，x₁=1-$\frac{\sqrt{9-3a}}{3}$，x₂=1+$\frac{\sqrt{9-3a}}{3}$，
f′（x）＞0，可得x＞x₂或x＜x₁；f′（x）＜0，可得x₁＜x＜x₂．
综上可得，a≥3时，f（x）的增区间为R；
a＜3时，f（x）的增区间为（-∞，1-$\frac{\sqrt{9-3a}}{3}$），（1+$\frac{\sqrt{9-3a}}{3}$，+∞），
减区间为（1-$\frac{\sqrt{9-3a}}{3}$，1+$\frac{\sqrt{9-3a}}{3}$）．
（2）由于y=|f（x）|的图象经过原点，
当a≥3时，由（1）可得y=|f（x）|=f（x）在[0，1]递增，
即有x=1处取得最大值，且为a-2；
当2≤a＜3时，由（1）可得f（x）在[0，1-$\frac{\sqrt{9-3a}}{3}$）递增，
在（1-$\frac{\sqrt{9-3a}}{3}$，1]递减，
则f（x）在x=1-$\frac{\sqrt{9-3a}}{3}$处取得最大值，且大于0，
又f（0）=0，f（1）=a-2≥0，
则y=|f（x）|=f（x）（0≤x≤1）的最大值即为f（1-$\frac{\sqrt{9-3a}}{3}$）．
综上可得，当a≥3时，函数y的最大值为a-2；
当2≤a＜3时，函数y的最大值为f（1-$\frac{\sqrt{9-3a}}{3}$）．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，主要考查分类讨论的思想方法和函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．