Question

20．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁，F₂，设P为椭圆上一点，∠F₁PF₂的外角平分线所在的直线为l，过F₁，F₂分别作l的垂线，垂足分别为R，S，当P在椭圆上运动时，R，S所形成的图形的面积为πa²．

Answer 1

分析 延长F₂S交F₁P的延长线于Q，可证得PQ=PF₂，且S是PF₂的中点，由此可求得OS的长度是定值，即可求点S的轨迹的几何特征．

解答 解：由题意，P是以F₁，F₂为焦点的椭圆上一点，过焦点F₂作∠F₁PF₂外角平分线的垂线，垂足为S，
延长F₂S交F₁P的延长线于Q，得PQ=PF₂，
由椭圆的定义知PF₁+PF₂=2a，故有PF₁+PQ=QF₁=2a，
连接OS，知OS是三角形F₁F₂Q的中位线，
∴OS=a，即点S到原点的距离是定值a，由此知点S的轨迹是
以原点为圆心、半径等于a的圆．
同理可得，点R的轨迹是以原点为圆心、半径等于a的圆．
故点R，S所形成的图形的面积为πa²．

点评 本题考查求轨迹方程，关键是证出OS是中位线以及利用题设中所给的图形的几何特征求出QF₁的长度，进而求出OS的长度，再利用圆的定义得出点M的轨迹是一个圆，属于难题．