Question

5．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是AC上一点，以AD为直径作⊙O交AB于点G
（1）证明：B、C、D、G四点共圆
（2）过点C作⊙O的切线CP，切点为P，连接OP，作PH⊥AD于H，若CH=$\frac{16}{5}$，OH=$\frac{9}{5}$，求CD•CA的值．

Answer 1

分析 （1）证明∠AGD=∠BCA=90°，可得B、C、D、G四点共圆
（2）利用切割线定理、射影定理，求出CP，即可求CD•CA的值．

解答 （1）证明：∵AD是直径，
∴∠AGD=90°，
∵∠BCA=90°，
∴∠AGD=∠BCA，
∴B、C、D、G四点共圆
（2）解：∵CP是⊙O的切线，CDA是⊙O的割线，
∴CP²=CD•CA，
∵∠CPO=90°，PH⊥AD，
∴CP²=CH•CO，
∵CH=$\frac{16}{5}$，OH=$\frac{9}{5}$，
∴CO=5，
∴CP²=CH•CO=16，
∴CD•CA=16．

点评 本题考查四点共圆、切割线定理、射影定理，考查学生的计算能力，比较基础．