Question

14．已知向量序列：$\overrightarrow{{a}_{1}}$，$\overrightarrow{{a}_{2}}$，…，$\overrightarrow{{a}_{n}}$，…满足条件：|$\overrightarrow{a{\;}_{1}}$|=2且$\overrightarrow{{a}_{n}}$-$\overrightarrow{{a}_{n-1}}$=$\overrightarrow{d}$（n≥2，n∈N），其中向量$\overrightarrow{d}$满足：|$\overrightarrow{d}$|=$\frac{1}{2}$且2$\overrightarrow{{a}_{1}}$•$\overrightarrow{d}$=-1．
（1）求数列{|$\overrightarrow{{a}_{n}}$|}的最小项；
（2）是否存在正整数m，p，n，使得当m＞p＞n时，有$\overrightarrow{{a}_{m}}$•$\overrightarrow{{a}_{n}}$=$\overrightarrow{{a}_{p}}$²，若存在，求出p的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知条件采用累加法求得$\overrightarrow{{a}_{n}}$=$\overrightarrow{{a}_{1}}$+（n-1）$\overrightarrow{d}$，平方后结合已知条件得到${\overrightarrow{{a}_{n}}}^{2}$关于n的函数式，利用配方法求得使${\overrightarrow{{a}_{n}}}^{2}$取得最小值的n值；
（2）通过$\overrightarrow{{a}_{m}}$•$\overrightarrow{{a}_{n}}$=$\overrightarrow{{a}_{p}}$²，代入$\overrightarrow{{a}_{n}}$=$\overrightarrow{{a}_{1}}$+（n-1）$\overrightarrow{d}$，$\overrightarrow{{a}_{m}}$=$\overrightarrow{{a}_{1}}$+（m-1）$\overrightarrow{d}$，$\overrightarrow{{a}_{p}}$=$\overrightarrow{{a}_{1}}$+（p-1）$\overrightarrow{d}$，结合已知条件计算即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{{a}_{n}}$-$\overrightarrow{{a}_{n-1}}$=$\overrightarrow{d}$，∴$\overrightarrow{{a}_{2}}$-$\overrightarrow{{a}_{1}}$=$\overrightarrow{d}$，$\overrightarrow{{a}_{3}}$-$\overrightarrow{{a}_{2}}$=$\overrightarrow{d}$，
…
$\overrightarrow{{a}_{n}}$-$\overrightarrow{{a}_{n-1}}$=$\overrightarrow{d}$，累加得，$\overrightarrow{{a}_{n}}$=$\overrightarrow{{a}_{1}}$+（n-1）$\overrightarrow{d}$，
又∵|$\overrightarrow{a{\;}_{1}}$|=2，|$\overrightarrow{d}$|=$\frac{1}{2}$且2$\overrightarrow{{a}_{1}}$•$\overrightarrow{d}$=-1，
∴${\overrightarrow{{a}_{n}}}^{2}$=${\overrightarrow{{a}_{1}}}^{2}$+$（n-1）^{2}{\overrightarrow{d}}^{2}$+2（n-1）$\overrightarrow{{a}_{1}}\overrightarrow{d}$
=$\frac{（n-1）^{2}}{4}-（n-1）+4$．
∴当n-1=2，即n=3时，${\overrightarrow{{a}_{n}}}^{2}$最小，即|$\overrightarrow{{a}_{n}}$|最小；
（2）结论：存在最小正整数p=6满足题意．
理由如下：
由（1）得：$\overrightarrow{{a}_{n}}$=$\overrightarrow{{a}_{1}}$+（n-1）$\overrightarrow{d}$，$\overrightarrow{{a}_{m}}$=$\overrightarrow{{a}_{1}}$+（m-1）$\overrightarrow{d}$，$\overrightarrow{{a}_{p}}$=$\overrightarrow{{a}_{1}}$+（p-1）$\overrightarrow{d}$，
∵$\overrightarrow{{a}_{m}}$•$\overrightarrow{{a}_{n}}$=$\overrightarrow{{a}_{p}}$²，∴[$\overrightarrow{{a}_{1}}$+（m-1）$\overrightarrow{d}$]•[$\overrightarrow{{a}_{1}}$+（n-1）$\overrightarrow{d}$]=[$\overrightarrow{{a}_{1}}$+（p-1）$\overrightarrow{d}$]²，
化简，得：$（m+n-2p）\overrightarrow{{a}_{1}}•\overrightarrow{d}$=$（{p}^{2}-2p-mn+m+n-2）{\overrightarrow{d}}^{2}$，
∴$-\frac{1}{2}$（m+n-2p）=$\frac{1}{4}（{p}^{2}-2p-mn+m+n-2）$，
即（p-3）²=（m-3）（n-3）+2，
显然m=10，p=6，n=4满足题意，p的最小值为6．

点评 本题考查了数列递推式，训练了累加法求数列的通项公式，训练了利用配方法求二次函数的最值，属于中档题．