Question

12．如图：在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BC=4，BB₁=4，E是CD的中点，F是A₁D₁的中点．
（1）求异面直线AB₁，BF所成角的余弦值，
（2）求三棱锥E-AB₁D的体积．

Answer 1

分析 （1）建立如图所示的坐标系，确定$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（2，0，4），$\overrightarrow{BF}$=（-2，2，4），利用向量的夹角公式求异面直线AB₁，BF所成角的余弦值，
（2）利用三棱锥的体积公式求三棱锥E-AB₁D的体积．

解答 解：（1）建立如图所示的坐标系，则A（0，0，0），B₁（2，0，4），B（2，0，0），F（0，2，4），
所以$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（2，0，4），$\overrightarrow{BF}$=（-2，2，4），
所以异面直线AB₁，BF所成角的余弦值为$\frac{-4+16}{\sqrt{4+16}•\sqrt{4+4+16}}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$；
（2）在△CC₁D中，由等面积可得C到平面AB₁D的距离为$\frac{4×2}{\sqrt{20}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
所以E到平面AB₁D的距离为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
因为△AB₁D的面积为$\frac{1}{2}×4×\sqrt{20}$=4$\sqrt{5}$，
所以三棱锥E-AB₁D的体积为$\frac{1}{3}×4\sqrt{5}×\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查三棱锥体积的计算，考查异面直线AB₁，BF所成角，正确运用向量法是关键．