Question

17．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥AD且2BC=AD，∠PBC=90°，∠PBA≠90°．
（1）求证：平面PBC⊥平面PAB；
（2）若平面PAB∩平面PCD=l，求证：直线l不平行于平面ABCD．（用反证法证明）

Answer 1

分析 （1）自P作PH⊥AB于H，由平面PAB⊥平面ABCD，可得PH⊥平面ABCD．于是BC⊥PH．又BC⊥PB，可得BC⊥平面PAB，即可证明平面PBC⊥平面PAB；
（2）利用反证法，证明AB∥CD，即四边形ABCD为平行四边形，得到矛盾即可得到结论．

解答 （1）证明：自P作PH⊥AB于H，
因为平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD=AB，PH?平面PAB，
所以PH⊥平面ABCD．
因为BC?平面ABCD，
所以BC⊥PH．
因为∠PBC=90°，
所以BC⊥PB，
而∠PBA≠90°，于是点H与B不重合，即PB∩PH=P．
因为PB，PH?平面PAB，
所以BC⊥平面PAB．
因为BC?平面PBC，
故平面PBC⊥平面PAB；
（2）不平行，
反证法：
假设直线l平行于平面ABCD，
由于l?平面PCD，且平面PCD∩平面ABCD=CD，
∴l∥CD，
同理可得l∥AB，
即AB∥CD，
∵BC∥AD，
∴四边形ABCD为梯形，
则AD=BC，与2BC=AD矛盾，
故假设不成立，
即直线l不平行于平面ABCD．

点评 本题主要考查面面垂直和线面平行的判定，要求熟练掌握相应的判定定理．