Question

6．已知a∈R，函数f（x）=-$\frac{3}{2}$x²+（4a+2）x-a（a+2）lnx在（0，1）内有极值，则a的取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． （-2，0）∪（0，1）
• C． （-2，-$\frac{1}{2}$）∪（-$\frac{1}{2}$，1）
• D． （-2，1）

Answer 1

分析 求出函数的导数，令g（x）=-3x²+（4a+2）x-a（a+2），由题意可得，g（x）=0在（0，1）内有解．若g（x）=0只有一解，若g（x）=0有两解，运用零点存在定理和二次函数的图象和性质，得到不等式组，解得它们，注意a=0的情况，再求并集即可．

解答 解：函数f（x）=-$\frac{3}{2}$x²+（4a+2）x-a（a+2）lnx的导数为
f′（x）=-3x+（4a+2）-$\frac{a（a+2）}{x}$=$\frac{-3{x}^{2}+（4a+2）x-a（a+2）}{x}$，
令g（x）=-3x²+（4a+2）x-a（a+2），
由题意可得，g（x）=0在（0，1）内有解．
若g（x）=0只有一解，
则有g（0）g（1）＜0，即-a（a+2）（-a²+2a-1）＜0，
解得-2＜a＜0；
若g（x）=0有两解，
则$\left\{\begin{array}{l}{g（0）＜0}\\{g（1）＜0}\\{（4a+2）^{2}-12a（a+2）＞0}\\{0＜\frac{2a+1}{3}＜1}\end{array}\right.$即有$\left\{\begin{array}{l}{a＞0或a＜-2}\\{a≠1}\\{a≠1}\\{-\frac{1}{2}＜a＜1}\end{array}\right.$，
解得0＜a＜1．
当a=0时，f（x）=-$\frac{3}{2}$x²+2x在x=$\frac{2}{3}$处取得极大值，成立．
综上可得a的取值范围是（-2，1）．
故选D．

点评 本题考查导数的运用：求极值，主要考查二次方程的实根的分布，运用二次函数的图象和性质是解题的关键，考查运算能力，属于中档题和易错题．