Question

18．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为DD₁、DB的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面ABC₁D₁；
（Ⅱ）求三棱锥E-FCB₁的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）欲证EF∥平面ABC₁D₁，只需在平面ABC₁D₁中找一直线与EF平行，根据E、F分别为DD₁、DB的中点，可得EF∥BD₁，最后根据线面平行的判定定理可得结论；
（Ⅱ）由题意，可先证明出CF⊥平面BDD₁B₁，由此得出三棱锥的高，再求出底面△B₁EF的面积，然后再由棱锥的体积公式即可求得体积．

解答 （Ⅰ）证明：∵E、F分别为DD₁、DB的中点，
∴EF是三角形BD₁D的中位线，即EF∥BD₁；…（3分）
又EF?平面ABC₁D₁，BD₁?平面ABC₁D₁，…（5分）
所以EF∥平面ABC₁D₁
（Ⅱ）解：∵EF⊥平面B₁FC，∴EF⊥FB₁
EF=$\sqrt{3}$，FB₁=$\sqrt{6}$
Rt△B₁EF的面积=$\frac{1}{2}$×EF×FB₁=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×$\sqrt{6}$=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$
∵CB=CD，BF=DF，∴CF⊥BD．
∵DD₁⊥平面ABCD，∴DD₁⊥CF
又DD₁∩BD=D，∴CF⊥平面BDD₁B₁   
又CF=$\sqrt{2}$，
∴V_B1-EFC=V_C-B1EF=$\frac{1}{3}$×S_△B1EF×CF=$\frac{1}{3}×\frac{3}{2}\sqrt{2}×\sqrt{（2）}$=1
∴三棱锥B₁-EFC的体积为1．

点评 本题主要考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理，考查三棱锥的体积，同时考查了推理论证的能力和空间想象能力，属于中档题．