Question

19．某家轿车在x年的使用过程中支出，购车费12万，保险，养路，燃油费等各种费用每月共计1万元，维修费（0.1x²+0.1x）万元，使用x年后价值为（10-0.8x）万元，显然汽车年平均支出y（万元）是x的函数．
（1）写出y关于x的函数关系式；
（2）探究函数的变化规律，并证明什么时候平均支出最少？

Answer 1

分析 （1）根据题意直接列出y关于x的函数关系式，并求出x的范围；
（2）先化简函数解析式，再利用基本不等式判断出函数的单调性，从而求出函数的最小值以及x的值．

解答 解：（1）由题意得，y=$\frac{12+12x+（0.1{x}^{2}+0.1x）-（10-0.8x）}{x}$
=$\frac{0.1{x}^{2}+12.9x+2}{x}$（x∈N₊）；
（2）由（1）可得，y=$0.1x+\frac{2}{x}$+12.9，
由基本不等式得，$0.1x+\frac{2}{x}≥2\sqrt{0.1x•\frac{2}{x}}$=2$\sqrt{0.2}$，
当且仅当$0.1x=\frac{2}{x}$时取等号，此时x²=20，
则函数y在（0，$\sqrt{20}$）递减，在（$\sqrt{20}$，+∞）递增，
因为x取正整数，所以x取4或5，
当x=4时，y=13.8；当x=5时，y=13.8，
所以使用4或5年时平均支出最少．

点评 本题考查了函数的实际应用问题，以及基本不等式的应用，注意自变量的实际意义，属于中档题．