Question

9．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=$\sqrt{2}$，AD=2，PA=$\sqrt{5}$，PB=$\sqrt{3}$，E，F分别是棱AD，PC的中点．
（I）求证：EF∥平面PAB；
（Ⅱ）求证：平面PCD⊥平面PBD．

Answer 1

分析 （1）利用线面平行的判定定理或面面平行的性质定理证明．
（2）利用面面垂直的判定定理证明．

解答 证明（1）取PB中点M，连接FM、MA，
∵F，M为PC，PB的中点，
∴FM∥BC，FM=$\frac{1}{2}$BC，（中位线定理），
∵ABCD是平行四边形且E是AD的中点，
∴AE∥BC，AE=$\frac{1}{2}$BC，
∴FM∥AE，FM=AE，
即四边形FMAE是平行四边形，
∴FE∥MA，
∵MA?平面PAB，EF??平面PAB，
∴EF∥平面PAB．
（2）∵BA=BD=$\sqrt{2}$，AD=2，
∴BD²+BA²=AD²，即AB⊥BD，
∴PB=$\sqrt{3}$，AB=$\sqrt{2}$，PA=$\sqrt{5}$，
∴AB²+PB²=PA²，即PB⊥AB，
∴PB，BD?平面PBD，PB∩BD=B，
∴AB⊥面PBD．
∵CD∥BA，
∴CD⊥面PBD
又cD?面PCD．
∴平面PCD⊥平面PBD．

点评 本题主要考查线面平行和面面垂直的判定，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．