Question

1．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱垂直于底面，AB=5，AC=4，BC=3，AA₁=4，点D在AB上．
（1）若D是AB中点，求证：AC₁∥平面B₁CD；
（2）当$\frac{BD}{AB}$=$\frac{1}{5}$时，求三棱锥B-CDB₁的体积．

Answer 1

分析 （1）连接BC₁，交B₁C于E，连接DE．利用矩形的性质、三角形中位线定理可得：DE∥AC₁．再利用线面平行的判定定理可得：AC₁∥平面B₁CD．
（2）由$\frac{BD}{AB}$=$\frac{1}{5}$，可得S_△BCD=$\frac{1}{5}{S}_{△ABC}$，利用${V}_{B-{B}_{1}CD}$=${V}_{{B}_{1}-BCD}$=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}$•BB₁即可得出．

解答 （1）证明：连接BC₁，交B₁C于E，连接DE．
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，D是AB中点，
∴侧面BB₁C₁C为矩形，DE为△ABC₁的中位线，
∴DE∥AC₁．
∵DE?平面B₁CD，AC₁?平面B₁CD，
∴AC₁∥平面B₁CD．
（2）解：∵AC⊥BC，AC=4，BC=3．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}AC•BC$=6，
∵$\frac{BD}{AB}$=$\frac{1}{5}$，
∴S_△BCD=$\frac{1}{5}{S}_{△ABC}$=$\frac{6}{5}$，
又∵BB₁⊥平面BCD，BB₁=4，
∴${V}_{B-{B}_{1}CD}$=${V}_{{B}_{1}-BCD}$=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}$•BB₁=$\frac{1}{3}×\frac{6}{5}×4$=$\frac{8}{5}$．

点评 本题考查了直三棱柱的性质、矩形的性质、三角形中位线定理、线面平行的判定定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．