Question

16．已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（x+y）=2f（x）f（y），当x＜0时，f（x）＞$\frac{1}{2}$
（1）求证：f（x）＞0；
（2）判断函数f（x）的单调性；
（3）解不等式f（x-2）f（2x）＜$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）根据抽象函数的表达式，利用赋值法即可证明f（x）＞0；
（2）根据函数单调性的定义结合抽象函数之间的关系即可判断函数f（x）的单调性；
（3）利用抽象函数的关系将不等式f（x-2）f（2x）＜$\frac{1}{4}$进行转化即可得到结论．．

解答 （1）证明：∵当x＜0时，f（x）＞$\frac{1}{2}$
∴令x=-1，y=0，则f（-1）＞$\frac{1}{2}$，
则f（-1）=2f（-1）f（0），
则2f（0）=1．即f（0）=$\frac{1}{2}$，
令y=-x，
则f（0）=2f（x）f（-x）=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=$\frac{1}{4f（-x）}$，
则当x＞0时，-x＜0，则f（-x）＞$\frac{1}{2}$，4f（-x）＞2，
即f（x）=$\frac{1}{4f（-x）}$∈（0，$\frac{1}{2}$），
综上f（x）＞0；
（2）解：函数f（x）单调递减．
设x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，即f（x₁-x₂）＞$\frac{1}{2}$，
则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂+x₂）-f（x₂）=2f（x₁-x₂）f（x₂）-f（x₂）=f（x₂）[2f（x₁-x₂）-1]，
∵f（x₁-x₂）＞$\frac{1}{2}$，f（x）＞0
∴2f（x₁-x₂）-1$＞2×\frac{1}{2}-1=0$，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
故函数f（x）为减函数．
（3）解：由（1）知，当x＞0时，f（x）∈（0，$\frac{1}{2}$），
则f（x-2）f（2x）＜$\frac{1}{4}$等价为2f（x-2）f（2x）＜$\frac{1}{2}$．
即f（x-2+2x）＜$\frac{1}{2}$．
即f（3x-2）＜$\frac{1}{2}$．
即3x-2＞0，解得x＞$\frac{2}{3}$，
故不等式的解集为（$\frac{2}{3}$，+∞）．

点评 本题考查了抽象函数的奇偶性和单调性，深刻理解函数奇偶性和单调性的定义及充分利用已知条件是解决问题的关键．综合性较强，难度较大．