Question

8．已知函数f（x）=|x²-2x-3|，x∈R．
（1）直线y=m与y=f（x）的图象从左到右依次有4个交点A、B、C、D，若线段AB、BC、CD能构成三角形，求m的取值范围；
（2）当函数f（x）的定义域为[a，b]时，值域恰好为[$\frac{5}{3}$（a-1），$\frac{5}{3}$（b-1）]，求a、b的值．

Answer 1

分析 （1）首先画出f（x）和y=m的图象，根据图象即可求得A，B，C，D四点坐标，进而求出|AB|，|CD|，|BC|，而若线段AB、BC、CD能构成三角形只要满足|AB|+|CD|＞|BC|即可，这样便可求出m的范围；
（2）结合图形，对应区间[a，b]的位置分成①[a，b]⊆（-∞，-1），（-1，1），（1，3），（3，+∞），②在[a，b]上取到最小值0，③在[a，b]上取到最大值f（1），这样求出每种情况的a，b即可得到a，b的值．

解答 解：f（x）的图象如下，

通过解方程|x²-2x-3|=m得到A，B，C，D四点的横坐标如下：
1-$\sqrt{4+m}$，$1-\sqrt{4-m}$，$1+\sqrt{4-m}，1+\sqrt{4+m}$；
∴$|AB|=|CD|=\sqrt{4+m}-\sqrt{4-m}$，$|BC|=2\sqrt{4-m}$；
要使AB，BC，CD能构成三角形，只要|AB|+|CD|＞|BC|；
∴$2（\sqrt{4+m}-\sqrt{4-m}）＞2\sqrt{4-m}$；
∴$\sqrt{4+m}＞2\sqrt{4-m}$；
∴得到$\left\{\begin{array}{l}{4-m＞0}\\{4+m＞4（4-m）}\end{array}\right.$；
解得$\frac{12}{5}＜m＜4$；
∴m的取值范围为（$\frac{12}{5}，4$）；
（2）①若[a，b]⊆（-∞，-1），f（x）在[a，b]上单调递减；
∴f（x）的值域为[f（b），f（a）]=[b²-2b-3，a²-2a-3]=[$\frac{5}{3}（a-1），\frac{5}{3}（b-1）$]；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{b}^{2}-2b-3=\frac{5}{3}（a-1）}\\{{a}^{2}-2a-3=\frac{5}{3}（b-1）}\end{array}\right.$；
两式相减得$a+b=\frac{1}{3}$，∵此时a+b＜-2，所以这种情况不存在；
同样的办法可以判断当[a，b]⊆（-1，1），（1，3），（3，+∞）时也不存在；
②若f（x）在[a，b]上的最小值为0时；
则a=1，则b≥3；
若此时f（x）的最大值为f（1）=4=$\frac{5}{3}（b-1）$，则b=$\frac{17}{5}＞3$，符合条件；
若此时f（x）的最大值为f（b）=${b}^{2}-2b-3=\frac{5}{3}（b-1）$，解得b=4，或b=$-\frac{1}{3}$（舍去），b=4符合条件；
∴在这种情况下a=1，b=$\frac{17}{5}，或4$；
③若f（x）在[a，b]上的最大值为f（1）=4=$\frac{5}{3}（b-1）$，b=$\frac{17}{5}$，则此时最小值一定是0=$\frac{5}{3}（a-1）$，a=1；
∴综上得a=1，b=$\frac{17}{5}$，或4．

点评 考查直线y=b和曲线f（x）交点的横坐标和方程f（x）=b解的关系，求根公式求一元二次方程的根，三条线段构成三角形的条件：两边之和大于第三边，分类讨论的方法，以及结合图形解题的方法，根据函数的单调性求函数的值域．