Question

17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作圆O与斜边AB交于N，过点O作OM∥AC，交BC于M，交圆O于Q．
（Ⅰ）求证：MN是圆O的切线；
（Ⅱ）求证：MN•BC=MQ•AC+MQ•AB．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接ON，证明△NOM≌△BOM，可得∠ONM=∠OBM=90°，即可证明MN是圆O的切线；
（Ⅱ）延长MO交圆O于点F，证明MN•BC=MN•2MB=2MN²，可得MQ•QC+MQ•QB=MQ•（AC+AB）=MQ•（2OM+2OF）=2MQ•MF，利用MN，MF分别是圆O的切线与割线，可得MN²=MQ•MF，即可证明MN•BC=MQ•AC+MQ•AB．

解答 （Ⅰ）证明：连接ON，
∵OM∥AC，
∴∠A=∠BOM，∠ANO=∠NOM，
∵OA=ON，
∴∠A=∠ANO，
∴∠BOM=∠NOM．
在△NOM和△BOM中，
∵ON=OB，∠BOM=∠NOM，OM=OM，
∴△NOM≌△BOM，
∴∠ONM=∠OBM=90°，
∴ON⊥MN，
∴MN是圆O的切线；
（Ⅱ）解：延长MO交圆O于点F，
∵△NOM≌△BOM，
∴MN=MB，
∵M是BC的中点，
∴BC=2MB，
∴MN•BC=MN•2MB=2MN²，
∵AC=2OM，AB=2OF，
∴MQ•QC+MQ•QB=MQ•（AC+AB）=MQ•（2OM+2OF）=2MQ•MF，
∵MN，MF分别是圆O的切线与割线，
∴MN²=MQ•MF，
∴MN•BC=MQ•AC+MQ•AB．

点评 本题考查三角形全等的证明，考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．