Question

7．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱垂直于底面，AB=$\sqrt{3}$，BC=1，AA₁=AC=2，E、F分别为A₁C₁、BC的中点．
（1）求证：平面ABE⊥平面B₁BCC₁；
（2）求证：C₁F∥平面ABE；
（3）求多面体A₁B₁C₁-ABF的体积．

Answer 1

分析 （1）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥底面ABC，可得BB₁⊥AB，由于AB=$\sqrt{3}$，BC=1，AC=2，可得AB⊥BC，利用线面垂直的判定定理可得：AB⊥平面B₁BCC₁，即可证明平面ABE⊥平面B₁BCC₁；
（2）取AB的中点G，连接EG，FG，利用三角形中位线定理可得：FG∥AC，$FG=\frac{1}{2}AC$，于是$FG\underset{∥}{=}E{C}_{1}$，可得FGEC₁为平行四边形，得到C₁F∥EG，即可证明C₁F∥平面ABE；
（3）利用多面体A₁B₁C₁-ABF的体积V=${V}_{{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}-ABC}$-${V}_{{C}_{1}-ACF}$即可得出．

解答 （1）证明：在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥底面ABC，
∴BB₁⊥AB，
∵AB=$\sqrt{3}$，BC=1，AC=2，
∴AB⊥BC，
∵BC∩BB₁=B，∴AB⊥平面B₁BCC₁，
又AB?平面ABE，
∴平面ABE⊥平面B₁BCC₁；
（2）证明：取AB的中点G，连接EG，FG，
∵E，F分别是A₁C₁，BC的中档，
∴FG∥AC，$FG=\frac{1}{2}AC$，
∵$AC\underset{∥}{=}{A}_{1}{C}_{1}$，∴$FG\underset{∥}{=}E{C}_{1}$，
∴FGEC₁为平行四边形，
∴C₁F∥EG，
又EG?平面ABE，C₁F?平面ABE，
∴C₁F∥平面ABE；
（3）解：多面体A₁B₁C₁-ABF的体积V=${V}_{{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}-ABC}$-${V}_{{C}_{1}-ACF}$=$\frac{5\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、平行四边形的性质、体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、化归与转化能力，属于中档题．