Question

3．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E为PD的中点，点F在棱PD上，且FD=$\frac{1}{3}$PD．
（Ⅰ）求证：PB∥平面EAC；
（Ⅱ）求三棱锥F-ADC与四棱锥P-ABCD的体积比．

Answer 1

分析 （I）如图所示，连接BD，利用三角形中位线定理可得：PB∥OE，再利用线面平行的判定定理即可证明．
（Ⅱ）由FD=$\frac{1}{3}$PD，可得：点F到平面ACD（也是平面ABCD）的距离与点P到平面ABCD的距离比为1：3，又易知△ACD的面积等于四边形ABCD面积的一半，即可得出体积之比．

解答 （I）证明：如图所示，连接BD，设BD∩AC=O，易知O为DB的中点．
又E为PD的中点，
在△PDB中，
∴PB∥OE．
又OE?平面EAC，PB?平面EAC，
故PB∥平面EAC．
（Ⅱ）解：∵FD=$\frac{1}{3}$PD，
∴点F到平面ACD（也是平面ABCD）的距离与点P到平面ABCD的距离比为1：3，
又易知△ACD的面积等于四边形ABCD面积的一半，
∴三棱锥F-ADC与四棱锥P-ABCD的体积比为1：6．

点评 本题考查了线面平行的判定定理、三角形中位线定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．