Question

18．在等腰直角△BCP中，BC=PC=4，∠BCP=90°，A是边BP的中点，现沿CA把△ACP折起，使PB=4，如图1所示．

（1）在三棱锥P-ABC中，求证：平面PAC⊥平面ABC；
（2）在图1中，过A作BC的平行线AE，AE=2，过E作AC的平行线与过C作BA的平行线交于D，连接PE，PD得到图2，求直线PB与平面PCD所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面PAC⊥平面ABC；
（2）根据线面所成角的定义先求出线面角然后根据三角形的边角关系进行求解即可．

解答 证明：（1）在三棱锥P-ABC中，依题意可知：PA⊥AC，…1分
∵PA=AB=$2\sqrt{2}$，PB=4，
∴PA²+AB²=PB²，…2分，
则PA⊥AB，…3分
又AB∩AC=A，则PA⊥平面ABC，…5分
∵PA?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面ABC．…6分
（2）由（1）知PA⊥AB，又AB⊥AC，PA∩AC=A，
∴AB⊥平面PAC，…7分   
∵AB∥CD，
∴CD⊥平面PAC，…8分
过A作AH⊥PC于H，则CD⊥AH，…9分
又∵PC∩CD=C，
∴AH⊥平面PCD，…10分
又AB∥CD，AB?平面PCD，
∴AB∥平面，
∴点A到平面PCD的距离等于点B到平面PCD的距离．…11分
∵在Rt△PAC中，PA=2$\sqrt{2}$，AC=2$\sqrt{2}$，PC=4，
∴PC边上的高AH=2，即为点A到平面PCD的距离，…12分
设直线PB与平面PCD所成角为θ，
则$sinθ=\frac{h}{PB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，…13分
又$θ∈[0，\frac{π}{2}]$，所以$θ=\frac{π}{6}$，
即直线PB与平面PCD所成角的大小为$\frac{π}{6}$； …14

点评 本题主要考查空间面面垂直的判定依据直线和平面所成角的求解，考查学生的推理和计算能力．