Question

7．如图，正方形ABCD所在平面与等腰三角形EAD所在平面相交于AD，EA=ED，AE⊥平面CDE．
（1）求证：AB⊥平面ADE；
（2）设M是线段BE上一点，当直线AM与平面EAD所成角的正弦值为$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$时，试确定点M的位置．

Answer 1

分析 （1）证明AE⊥CD，推出CD⊥平面ADE．利用直线与平面垂直的判定定理证明AB⊥平面ADE．
（2）由取AD中点O，取BC中点F，连接EO、OF．以OA、OF、OE分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=2，推出$\overrightarrow{AM}$，设AM与平面EAD所成角为θ，利用平面EAD的一法向量，直线AM与平面EAD所成角的正弦值为$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，求解即可．

解答 （1）证明：∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，
∴AE⊥CD．（2分）
在正方形ABCD中，CD⊥AD，
∵AD∩AE=A，∴CD⊥平面ADE．
∵AB∥CD，∴AB⊥平面ADE．（4分）
（2）解：由（1）得平面EAD⊥平面ABCD，取AD中点O，取BC中点F，连接EO、OF．
∵EA=ED，∴EO⊥AD，
∴EO⊥平面ABCD．（5分）
以OA、OF、OE分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

不妨设AB=2，则A（1，0，0），B（1，2，0），E（0，0，1）．（6分）
设M（x，y，z）．
∴$\overrightarrow{BM}$=（x-1，y-2，z），$\overrightarrow{BE}$=（-1，-2，1）
∵B，M，E三点共线，设$\overrightarrow{BM}$=λ$\overrightarrow{BE}$，
∴M（1-λ，2-2λ，λ），
∴$\overrightarrow{AM}$=（-λ，2-2λ，λ）．（8分）
设AM与平面EAD所成角为θ，∵平面EAD的一法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），（9分）
∴sinθ=$\left|\frac{\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{n}}{\left|\overrightarrow{AM}\right|\left|\overrightarrow{n}\right|}\right|$，∵直线AM与平面EAD所成角的正弦值为$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，
可得：$\frac{|2-2λ|}{\sqrt{2{λ}^{2}+{（2-2λ）}^{2}}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
解得λ=$\frac{1}{3}$或λ=-1（舍去），（11分）
∴点M为线段BE上靠近B的三等分点．（12分）

点评 本题考查直线与平面垂直，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．