Question

11．如图，平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，△PAC为等边三角形，PE∥CB，M，N分别是线段AE，AP上的动点，且满足：$\frac{AM}{AE}$=$\frac{AN}{AP}$=λ（0＜λ＜1）．
（1）求证：MN∥平面ABC；
（2）当λ=$\frac{1}{2}$时，求证：面CMN⊥面APE．

Answer 1

分析 （1）根据线面平行的判定定理证明MN∥BC即可证明MN∥平面ABC；
（2）当λ=$\frac{1}{2}$时，根据面面垂直的判定定理证明CN⊥面APE即可证明面CMN⊥面APE．

解答 （1）证明：由M，N分别是线段AE，AP上的动点，且在△APE中，$\frac{AM}{AE}=\frac{AN}{AP}=λ$（0＜λ＜1），得MN∥PE，
又依题意PE∥BC，
∴MN∥BC．
∵MN?平面ABC，BC?平面ABC，
∴MN∥平面ABC．                 
（2）解：由已知平面PAC⊥平面ABC，
AC⊥BC，
∴BC⊥平面PAC，
∴BC⊥CN，
即BC⊥PE． …（9分）
在等边三角形PAC中，
∵λ=$\frac{1}{2}$，∴CN⊥PA，
∴CN⊥面APE，
∴面CMN⊥面APE…（12分）

点评 本题主要考查空间直线和平面平行以及平面和平面垂直的判定，要求熟练掌握相应的判定定理．