Question

17．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x-1}，x＜1}\\{{x}^{\frac{1}{2}}，x≥1}\end{array}\right.$，则使f（x）≤2成立的x的取值范围是（-∞，4]．

Answer 1

分析 由分段函数可得当x＜1时，f（x）≤2即为2^x-1≤2，当x≥1时，f（x）≤2即为${x}^{\frac{1}{2}}$≤2，运用指数函数和幂函数的单调性，解出不等式，最后求并集即可．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x-1}，x＜1}\\{{x}^{\frac{1}{2}}，x≥1}\end{array}\right.$，
当x＜1时，f（x）≤2即为2^x-1≤2，解得x≤2，即为x＜1；
当x≥1时，f（x）≤2即为${x}^{\frac{1}{2}}$≤2，解得x≤4，即为1≤x≤4．
则有x的取值范围是（-∞，1）∪[1，4]=（-∞，4]．
故答案为：（-∞，4]．

点评 本题考查分段函数的运用：解不等式，主要考查指数函数和幂函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题．