Question

6．（1）已知数列{a_n}中，a₁=2，前n项之和A_n满足A_n=$\frac{1}{4}$（a_n²+2a_n），且a_n＞0，求A_n；
（2）若数列{b_n}的前n项之和为B_n，且通项b_n满足log₂a_n-log₂b_n=n+1+log₂n，求B_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（2）由log₂a_n-log₂b_n=n+1+log₂n，利用对数的运算性质可得：$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=n•2ⁿ⁺¹，再利用（1）可得：b_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$，利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵A_n=$\frac{1}{4}$（a_n²+2a_n），
∴当n≥2时，${A}_{n-1}=\frac{1}{4}（{a}_{n-1}^{2}+2{a}_{n-1}）$，
∴a_n=$\frac{1}{4}$（a_n²+2a_n）-$\frac{1}{4}（{a}_{n-1}^{2}+2{a}_{n-1}）$，
化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2，
∴数列{a_n}是等差数列，首项为2，公差为2，
∴A_n=2n+$\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²+n．
（2）∵log₂a_n-log₂b_n=n+1+log₂n，
∴$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=n•2ⁿ⁺¹，
由（1）可得：a_n=2+2（n-1）=2n，
∴$\frac{2n}{{b}_{n}}=n•{2}^{n+1}$，
∴b_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴数列{b_n}是等比数列，首项为$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{2}$．
其前n项之和为B_n=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．