Question

17．求函数f（x）=xsinx+cosx，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]的单调区间和最值．

Answer 1

分析 根据求导公式和题意求出f′（x），结合定义域和余弦函数的性质求出f′（x）＞0是x的范围，奇求出函数f（x）的单调递增区间．然后求出单调减区间，求解函数的最值．

解答 解：由题意得，f′（x）=sinx+xcosx-sinx=xcosx，
根据余弦函数的性质得，
当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，f′（x）＞0，
所以f（x）的单调递增区间是[0，$\frac{π}{2}$]，单调减区间为：[$-\frac{π}{2}，0$]
f（$-\frac{π}{2}$）=$-\frac{π}{2}$sin（$-\frac{π}{2}$）+cos（$-\frac{π}{2}$）=$\frac{π}{2}$，
f（0）=0×sin0+cos0=1，
f（$\frac{π}{2}$）=$\frac{π}{2}$sin$\frac{π}{2}$+cos$\frac{π}{2}$=$\frac{π}{2}$，
函数的最大值为$\frac{π}{2}$，最小值为1．

点评 本题考查余弦函数的性质，以及导数与函数的单调性关系，利用函数的导数求解函数的最值，属于中档题．