Question

9．设函数f（x）=e^x-ax-1，
（Ⅰ）若函数f（x）在R上单调递增，求a的取值范围；
（Ⅱ）当a＞0时，设函数f（x）的最小值为g（a），求证：g（a）≤0；
（Ⅲ）求证：对任意的正整数n，都有1ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹+…+nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ⁺¹．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函数的导函数，由函数f（x）在R上单调递增，可得其导函数大于等于0恒成立，由此求得实数a的取值范围；
（Ⅱ）由导数求出函数f（x）的最小值g（a）=a-alna-1，然后利用导数求出函数g（a）的最大值得答案；
（Ⅲ）直接利用放缩法，由2kⁿ⁺¹＜（k+1）ⁿ⁺¹（k=1，2，3，…n）证明数列不等式．

解答 （Ⅰ）解：由f（x）=e^x-ax-1，得f′（x）=e^x-a，
∵函数f（x）在R上单调递增，
∴f′（x）=e^x-a≥0对任意x∈R恒成立，即a≤e^x恒成立，
∵e^x＞0，
∴a≤0，
故实数a的取值范围是（-∞，0]；
（Ⅱ）证明：a＞0，由f′（x）=e^x-a＜0，得x＜lna，
由f′（x）=e^x-a＞0，得x＞lna，
∴当x=lna时，$f（x）_{min}=f（lna）={e}^{lna}-alna-1$=a-alna-1，
即g（a）=a-alna-1，
则g′（a）=-lna．
由-lna=0，得a=1，
∴g（a）≤g（1）=0，
∴g（a）≤0；
（Ⅲ）证明：由2kⁿ⁺¹＜（k+1）ⁿ⁺¹（k=1，2，3，…n），
得kⁿ⁺¹＜（k+1）ⁿ⁺¹-kⁿ⁺¹，
∴1ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹+…+nⁿ⁺¹＜2ⁿ⁺¹-1ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹+…+（n+1）ⁿ⁺¹-nⁿ⁺¹
=（n+1）ⁿ⁺¹-1＜（n+1）ⁿ⁺¹．

点评 本题考查利用导数求函数的单调区间，以及根据函数的增减性得到函数的最值，考查不等式恒成立时所取的条件，训练了放缩法法证明数列不等式，是压轴题．