Question

14．椭圆C₁和抛物线C₂的焦点均在x轴上，C₁的中心和C₂的顶点都在坐标原点O，点F是椭圆C₁的右焦点，点M位于x轴上方且在抛物线C₂的准线上，已知曲线C₁：C₂上各有两点，其坐标关系如下表：

x	-4	-1	-$\frac{1}{2}$	0
y	-8	$\frac{3}{2}$	2$\sqrt{2}$	$\sqrt{3}$

（Ⅰ）求C₁、C₂的方程；
（Ⅱ）求以线段OM为直径且被直线5x+12y-9=0截得的弦长为4的圆C的方程；
（Ⅲ）过点F斜率为k（k≠0）的直线l与C₁交于P、Q两点，与圆C交于A、B两点．问：是否存在直线l，使得线段PQ与线段AB有相同的中点？请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），抛物线方程为y²=mx，分析可得点（0，$\sqrt{3}$）和（-1，$\frac{3}{2}$）在椭圆上，点（-4，-8），（-$\frac{1}{2}$，2$\sqrt{2}$）在抛物线上，代入方程即可得到所求；
（Ⅱ）由于抛物线的准线为x=4，设M（4，t）（t＞0），求得以OM为直径的圆的方程，运用点到直线的距离公式和弦长公式，计算可得t=2，即可得到圆C方程；
（Ⅲ）假设存在直线l，使得线段PQ与线段AB有相同的中点．设直线l：y=k（x-1），分别代入椭圆方程和圆方程，运用韦达定理，再由中点坐标公式，可得$\frac{4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{{k}^{2}+k+2}{1+{k}^{2}}$，令f（x）=4x³+7x²+3x+6，运用零点存在定理可得f（k）=0有一个根介于-2和-1之间，即可判断存在这样的直线．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），抛物线方程为y²=mx，
则点（0，$\sqrt{3}$）在椭圆上，即有b=$\sqrt{3}$，
由于m=$\frac{{y}^{2}}{x}$，可得点（-4，-8），（-$\frac{1}{2}$，2$\sqrt{2}$）在抛物线上，
即有m=-16，
则点（-1，$\frac{3}{2}$）在椭圆上，代入椭圆方程得$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{4×3}$=1，
解得a=2，
则有C₁为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，C₂的方程为y²=-16x；
（Ⅱ）由于抛物线的准线为x=4，设M（4，t）（t＞0），
以线段OM为直径的圆的方程为（x-2）²+（y-$\frac{t}{2}$）²=4+$\frac{{t}^{2}}{4}$，
圆心（2，$\frac{t}{2}$）到直线5x+12y-9=0的距离为d=$\frac{|10+6t-9|}{13}$=$\frac{|6t+1|}{13}$，
则有弦长公式可得4=2$\sqrt{4+\frac{{t}^{2}}{4}-\frac{（6t+1）^{2}}{169}}$，
解得t=2（负值舍去），
即有圆C：（x-2）²+（y-1）²=5；
（Ⅲ）假设存在直线l，使得线段PQ与线段AB有相同的中点．
设直线l：y=k（x-1），代入椭圆的方程，可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
由于F在椭圆内，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，
将直线y=k（x-1）代入（x-2）²+（y-1）²=5，可得
（1+k²）x²-（2k²+4+2k）x+k²+2k=0，
设M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），
则有（2k²+4+2k）²-4（1+k²）（k²+2k）＞0，
即为2k²+k+2＞0，由判别式1-16＜0，解得k∈R．
x₃+x₄=$\frac{2{k}^{2}+2k+4}{1+{k}^{2}}$，
由中点坐标公式可得，$\frac{4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{{k}^{2}+k+2}{1+{k}^{2}}$，
即有4k³+7k²+3k+6=0，
令f（x）=4x³+7x²+3x+6，
由于f（-1）=-4+7-3+6＞0，f（-2）=-32+28-6+6＜0，
即f（-1）f（-2）＜0，
由零点存在定理可得，f（x）在（-2，-1）间至少存在一个零点．
故方程4k³+7k²+3k+6=0，至少有一个实根．
则存在直线l，使得线段PQ与线段AB有相同的中点．

点评 本题考查椭圆和抛物线的方程和性质，同时考查直线和圆的位置关系及弦长公式，注意联立直线方程和椭圆方程运用韦达定理，考查运算化简能力，属于中档题和易错题．