Question

15．已知函数f（x）=x²+2alnx．求函数f（x）的单调区间；．

Answer 1

分析 函数f（x）的定义域为（0，+∞）．当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；当a＜0时，列表讨论，能求出函数f（x）的单调递区间．

解答 解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=$\frac{{2x}^{2}+2a}{x}$，
（1）当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；
（2）当a＜0时，f′（x）=$\frac{2（x+\sqrt{-a}）（x-\sqrt{-a}）}{x}$，
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下：

x	（0，$\sqrt{-a}$）	$\sqrt{-a}$	（$\sqrt{-a}$，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	递减	极小值	递增

由上表可知，函数f（x）的单调递减区间是（0，$\sqrt{-a}$）；
单调递增区间是（$\sqrt{-a}$，+∞）．

点评 本题考查函数的单调区间的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行分类讨论思想和等价转化思想进行解题．