Question

10．如图，抛物线C₁：y²=4x的焦准距（焦点到准线的距离）与椭圆C₂：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的长半轴相等，设椭圆的右顶点为A，C₁，C₂在第一象限的交点为B，O为坐标原点，且△OAB的面积为$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$
（1）求椭圆C₂的标准方程；
（2）过点A作直线l交C₁于C，D两点，射线OC，OD分别交C₂于E，F两点，记△OEF，△OCD的面积分别为S₁，S₂，问是否存在直线l，使得S₁：S₂=3：13？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求得抛物线的焦准距p=2，即为a=2，由三角形的面积公式可得B的纵坐标，代入抛物线方程可得B的坐标，代入椭圆方程可得b，进而得到椭圆方程；
（2）设直线l的方程为：x=my+2，代入抛物线方程，运用韦达定理，运用三角形的面积公式可得$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{|{y}_{1}|}{|{y}_{E}|}$•$\frac{|{y}_{2}|}{|{y}_{F}|}$，运用直线OC，OD方程结合椭圆方程，求出E，F的纵坐标，求得面积的平方比，再令S₁：S₂=3：13，可得m=±1．即可判断是否存在．

解答 解：（1）抛物线C₁：y²=4x的焦准距p=2，得椭圆的长半轴a=2，
∵S_△OAB=$\frac{1}{2}$|OA|•y_B=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴y_B=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
代入抛物线方程求得B（$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），
代入椭圆方程得$\frac{4}{9×4}$+$\frac{24}{9{b}^{2}}$=1，
解得b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆C₂方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）设直线l的方程为：x=my+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得y²-4my-8=0，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-8，
$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{\frac{1}{2}|OC|•|OD|sin∠COD}{\frac{1}{2}|OE|•|OF|sin∠EOF}$=$\frac{|{y}_{1}|}{|{y}_{E}|}$•$\frac{|{y}_{2}|}{|{y}_{F}|}$，
直线OC的斜率为$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$=$\frac{4}{{y}_{1}}$，
∴直线OC的方程为x=$\frac{{y}_{1}y}{4}$．
由$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{y}_{1}y}{4}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，
得y_E²=$\frac{64×3}{3{{y}_{1}}^{2}+64}$，y_F²=$\frac{64×3}{3{{y}_{2}}^{2}+64}$，
∴y_E²•y_F²=$\frac{64×{3}^{2}}{121+48m}$，
∴（$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$）²=$\frac{121+48{m}^{2}}{9}$，
由S₁：S₂=3：13，可得m=±1．
∴存在直线l：x-y-2=0或x+y-2=0，使得S₁：S₂=3：13．

点评 本题考查椭圆方程的求法，探索满足条件的直线方程是否存在．综合性强，难度大，对数学思维的要求较高．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理合理运用．