Question

11．已知等比数列{a_n}中，a₂=2，a₅=$\frac{1}{4}$，则a₁+a₂+a₃+…+a_n的取值范围为{8（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）|n∈N^*}．

Answer 1

分析 易得数列{a_n}以4为首项、$\frac{1}{2}$为公比，从极限角度考查最值即可．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比为q，则有$\frac{{a}_{5}}{{a}_{2}}=\frac{{a}_{1}{q}^{4}}{{a}_{1}q}={q}^{3}$，
∵a₂=2，a₅=$\frac{1}{4}$，∴${q}^{3}=\frac{\frac{1}{4}}{2}=\frac{1}{8}$，即$q=\frac{1}{2}$，
从而a₁=$\frac{{a}_{2}}{q}$=$\frac{2}{\frac{1}{2}}$=4，
∴数列{a_n}以4为首项、$\frac{1}{2}$为公比，
∴S_n=$\frac{4[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$=$8[1-（\frac{1}{2}）^{n}]$，
故当n=1时，S_n最小，为$8×（1-\frac{1}{2}）=4$，
当n→+∞时，S_n→8，
故答案为：{8（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）|n∈N^*}．

点评 本题考查等比数列的简单性质，考查极限思想，注意解题方法的积累，属于中档题．