Question

16．已知函数f（x）=x²+bx+c，若方程f（x）=x有两个根x₁，x₂，并且|x₁-x₂|＞2，则方程f（f（x））=x的根的个数为（　　）

• A． 0
• B． 2
• C． 4
• D． 不确定

Answer 1

分析 由f（f（x））=x化简可得（f（x）-x）（f（x）+x+b+1）=0；从而转化为方程f（x）-x=0与f（x）+x+b+1=0的根的个数的判断，再讨论是否有重根即可．

解答 解：∵f（f（x））=x，
∴f²（x）+bf（x）+c-x=0，
即f²（x）-x²+x²+bf（x）-bx+bx+c-x=0
即（f（x）-x）（f（x）+x）+b（f（x）-x）+x²+bx+c-x=0，
即（f（x）-x）（f（x）+x）+b（f（x）-x）+f（x）-x=0，
即（f（x）-x）（f（x）+x+b+1）=0；
f（x）-x=x²+（b-1）x+c=0的根即为x₁，x₂，
且|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（b-1）²-4c＞4，
则b²-2b-3-4c＞0，
f（x）+x+b+1=x²+（b+1）x+b+c+1=0，
其判别式△=（b+1）²-4（b+c+1）=b²-2b-3-4c＞0，
因此也有2个不等实根．
假设两个方程有相同的根x，
则两方程相减得等根为：2x+b+1=0，
即x=-$\frac{b+1}{2}$，
代入原方程得，
（-$\frac{b+1}{2}$）²-$\frac{b+1}{2}$（b-1）+c=0，
化简可得，b²-2b-3-4c=0，
这与b²-2b-3-4c＞0相矛盾；
因此有四个不同的根；
故选C．

点评 本题考查了复合函数的性质应用，难点在于化简（f（x））=x为（f（x）-x）（f（x）+x+b+1）=0的形式，同时注意讨论方程是否存在重根，属于难题．