Question

11．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长BA和CD相交于点P，$\frac{PA}{PB}$=$\frac{1}{4}$，
$\frac{PD}{PC}$=$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求$\frac{AD}{BC}$的值；
（Ⅱ）若BD为⊙O的直径，且PA=1，求BC的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明△PAD与△PCB相似，即可求$\frac{AD}{BC}$的值；
（Ⅱ）求出PB，PC，利用勾股定理求BC的长．

解答 解：（Ⅰ）由∠PAD=∠PCB，∠A=∠A，得△PAD与△PCB相似，
设PA=x，PD=y则有$\frac{x}{2y}=\frac{y}{4x}⇒y=\sqrt{2}x$，
所以$\frac{AD}{BC}=\frac{x}{2y}=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$…（5分）
（Ⅱ）因为PA=1，$\frac{PA}{PB}$=$\frac{1}{4}$，所以PB=4，
因为PA•PB=PD•PC，$\frac{PD}{PC}$=$\frac{1}{2}$，所以PC=2$\sqrt{2}$，
因为BD为⊙O的直径，所以∠C=90°，
所以BC=$\sqrt{16-8}$=2$\sqrt{2}$．…（10分）

点评 本题考查三角形相似的判定，考查相交弦定理，考查相学生的计算能力，比较基础．