Question

10．如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点．
（Ⅰ） 求证：ED⊥BC；
（Ⅱ） 求证：平面BDE⊥平面BEC；
（Ⅲ）判断直线BM和平面ADEF的位置关系，并加以证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面垂直的性质定理证明ED⊥平面ABCD即可；
（Ⅱ） 根据面面垂直的判定定理即可证明平面BDE⊥平面BEC；
（Ⅲ）根据线面平行的判定定理进行证明即可．

解答 证明：（Ⅰ）∵ADEF为正方形，
∴ED⊥AD． …（1分）
又∵平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD．
又∵ED?平面ADEF，
∴ED⊥平面ABCD． …（2分）
又∵BC?平面ABCD
∴ED⊥BC．  …（3分）
（Ⅱ）在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，可得$BC=2\sqrt{2}$．…（4分）
在△BCD中，$BD=BC=2\sqrt{2}，CD=4$，
∴BC⊥BD．…（5分）
又∵ED∩BD=D
∴BC⊥平面BDE．…（6分）
又∵BC?平面BCE，
∴平面BDE⊥平面BEC． …（7分）
（ III）直线BM∥平面ADEF…8 分
取DE中点N，连结MN，AN．
在△EDC中，M，N分别为EC，ED的中点，
∴MN∥CD，且$MN=\frac{1}{2}CD$．
∵AB∥CD，$AB=\frac{1}{2}CD$，
∴MN∥AB，且MN=AB．
∴四边形ABMN为平行四边形．…11 分
∴BM∥AN．…12 分
又∵AN?平面ADEF，且BM?平面ADEF，
∴BM∥平面ADEF．…13分．

点评 本题主要考查空间直线和平面之间平行和垂直的判定，利用相应的判定定理是解决本题的关键．