Question

9．已知数列{a_n}，对任意n∈N^*，都有$\frac{{a}_{1}-1}{2}$+$\frac{{a}_{2}-1}{{2}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}-1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$=n²，求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 对任意n∈N^*，都有$\frac{{a}_{1}-1}{2}$+$\frac{{a}_{2}-1}{{2}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}-1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$=n²，当n=1时，$\frac{{a}_{1}-1}{2}$=1，解得a₁．当n≥2时，$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$=2n-1，再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：∵对任意n∈N^*，都有$\frac{{a}_{1}-1}{2}$+$\frac{{a}_{2}-1}{{2}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}-1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$=n²，
∴当n=1时，$\frac{{a}_{1}-1}{2}$=1，解得a₁=3．
当n≥2时，$\frac{{a}_{1}-1}{2}$+$\frac{{a}_{2}-1}{{2}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}-1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{{a}_{n-1}-1}{{2}^{n-1}}$=（n-1）²，
∴$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$=n²-（n-1）²=2n-1，
∴a_n=（2n-1）•2ⁿ+1，
令T_n=2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ，
则2T_n=2²+3×2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2×2²+2×2³+…+2•2ⁿ-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=$\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}$-2-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=（3-2n）•2ⁿ⁺¹-6，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．
∴S_n=T_n+n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+n+6．

点评 本题考查了等比数列的前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．