Question

8．已知g（x）=bx²+cx+1，f（x）=x²+ax+lnx+1，g（x）在x=1处的切线为y=2x
（1）求b，c的值
（2）若a=-3，求f（x）的极值
（3）设h（x）=f（x）-g（x），是否存在实数a，当x∈（0，e]，（e≈2.718，为自然常数）时，函数h（x）的最小值为3．

Answer 1

分析 （1）求出函数g（x）的导数，求得切线的斜率，由已知切线方程，可得2b+c=2，b+c+1=2，解得b，c即可；
（2）求出f（x）的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，即可得到极值；
（3）求出h（x）的导数，讨论①当a≥0时，②当a＜0时，当-$\frac{1}{e}$≤a＜0时，当a≤-$\frac{1}{e}$时，通过单调性判断函数的最值情况，即可判断是否存在．

解答 解：（1）g（x）=bx²+cx+1的导数为g′（x）=2bx+c，
g（x）在x=1处的切线斜率为2b+c，
由g（x）在x=1处的切线为y=2x，
则2b+c=2，b+c+1=2，
解得b=1，c=0；
（2）若a=-3，则f（x）=x²-3x+lnx+1，
f′（x）=2x-3+$\frac{1}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-3x+1}{x}$=$\frac{（2x-1）（x-1）}{x}$，
当x＞1或0＜x＜$\frac{1}{2}$时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当$\frac{1}{2}$＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有x=1处，f（x）取得极小值，且为-1，
x=$\frac{1}{2}$处，f（x）取得极大值，且为-$\frac{1}{4}$-ln2．
（3）h（x）=f（x）-g（x）=x²+ax+lnx+1-（x²+1）=ax+lnx，
①当a≥0时，h（x）在（0，e]递增，x=e处取得最大值，没有最小值；
②当a＜0时，h′（x）=a+$\frac{1}{x}$=$\frac{ax+1}{x}$，
若e≤-$\frac{1}{a}$即-$\frac{1}{e}$≤a＜0，则h′（x）＞0，h（x）递增，则有最大值，没有最小值；
若e＞-$\frac{1}{a}$即a≤-$\frac{1}{e}$，则在0＜x＜-$\frac{1}{a}$，h′（x）＞0，h（x）递增，
在-$\frac{1}{a}$＜x＜e，h′（x）＜0，h（x）递减．
则有x=-$\frac{1}{a}$处取得极大值，且为最大值，没有最小值．
故不存在实数a，当x∈（0，e]，（e≈2.718，为自然常数）时，
函数h（x）的最小值为3．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，同时考查存在性问题的解法，考查运算能力，属于中档题．