Question

16．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD=1，BC=2，E为CD上一点，且DE=1，EC=2，现沿BE折叠使平面BCE⊥平面ABED，F为BE的中点．图2所示．
（1）求证：AE⊥平面BCE；
（2）能否在边AB上找到一点P使平面ACE与平面PCF所成角的余弦值为$\frac{2}{3}$？若存在，试确定点P的位置，若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直的判定定理即可证明AE⊥平面BCE；
（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立方程关系即可得到结论．

解答 （1）证明：在直角梯形ABCD中，作DM⊥BC于M，连接AE，
则CM=2-1=1，CD=DE+CE=1+2=3，
则DM=AB=$\sqrt{9-1}$=$\sqrt{8}$=2$\sqrt{2}$，
cosC=$\frac{CM}{CD}$=$\frac{1}{3}$，则BE=$\sqrt{C{E}^{2}+C{B}^{2}-2CE•CBcosC}$=$\sqrt{4+4-2×2×2×\frac{1}{3}}$=$\sqrt{\frac{16}{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
sin∠CDM=$\frac{1}{3}$，
则AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}-2AD•DEcos∠ADE}$
=$\sqrt{1+1-2×1×1×\frac{1}{3}}$=$\sqrt{\frac{4}{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，（2分）
∴AE²+BE²=AB²，
故AE⊥BE，且折叠后AE与BE位置关系不变…（4分）
又∵面BCE⊥面ABED，且面BCE∩面ABED=BE，
∴AE⊥面BCE…（6分）
（2）解：∵在△BCE中，BC=CE=2，F为BE的中点
∴CF⊥BE
又∵面BCE⊥面ABED，且面BCE∩面ABED=BE，
∴CF⊥面ABED，
故可以F为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系
则A（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），C（0，0，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），E（0，$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），
易求得面ACE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，$-\sqrt{2}$，1）…（8分）
假设在AB上存在一点P使平面ACE与平面PCF，
所成角的余弦值为$\frac{2}{3}$，且$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}$，（λ∈R），
∵B（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），
∴$\overrightarrow{AB}$=（-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，0），
 故$\overrightarrow{AP}$=（-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$λ，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$λ，0），
又$\overrightarrow{CA}$=（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），
∴$\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AP}$=（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$（1-λ），$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（2λ-1），-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），
又 $\overrightarrow{FC}$=（0，0，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），
 设面PCF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{FC}•\overrightarrow{n}=0}\\{\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{n}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2\sqrt{6}}{3}z=0}\\{\frac{2\sqrt{6}}{3}（1-λ）x-\frac{2\sqrt{3}}{3}（2λ-1）y-\frac{2\sqrt{6}}{3}z=0}\end{array}\right.$，
令x=2λ-1得$\overrightarrow{n}$=（2λ-1，$\sqrt{2}$（λ-1），0）…（10分）
∴|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{|2（λ-1）|}{\sqrt{3}•\sqrt{（2λ-1）^{2}+2（λ-1）^{2}}}$=$\frac{2}{3}$，
解得$λ=\frac{2}{3}$ …（12分）
因此存在点P且P为线段AB上靠近点B的三等分点时使得平面ACE与平面PCF所成角的余弦值为$\frac{2}{3}$．…（13分）

点评 本题主要考查空间线面垂直的判定以及空间二面角的计算和应用，建立空间坐标系利用向量法是解决本题的关键．