Question

1．斜率为k≠0的两条直线分别切函数f（x）=x³+（t-1）x²-1于A，B两点，若直线AB的方程为y=2x-1，则t+k的值为7．

Answer 1

分析 可设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出函数f（x）的导数，可得x₁，x₂为3x²+2（t-1）x-k=0的两根，运用韦达定理，再由直线AB方程和函数f（x）联立，消去y，得到x的方程，再由韦达定理，解方程可得k=6，t=1，即可得到结论．

解答 解：斜率为k≠0的两条直线分别切函数f（x）=x³+（t-1）x²-1于A，B两点，
可设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
函数f（x）=x³+（t-1）x²-1的导数为f′（x）=3x²+2（t-1）x，
则x₁，x₂为3x²+2（t-1）x-k=0的两根，
即有x₁+x₂=$\frac{2（1-t）}{3}$，x₁x₂=-$\frac{k}{3}$，（k≠0），
又直线AB的方程为y=2x-1，
代入y=x³+（t-1）x²-1，可得2x=x³+（t-1）x²，
由于切点的横坐标不为0，则x²+（t-1）x-2=0，
则有x₁+x₂=1-t，x₁x₂=-2，
由-2=-$\frac{k}{3}$，1-t=$\frac{2（1-t）}{3}$，解得k=6，t=1，
即有k+t=7．
故答案为：7．

点评 本题考查导数的几何意义：曲线在该点处切线的斜率，运用韦达定理是解题的关键．