Question

10．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，如图
（1）求证：平面AB₁D₁∥平面C₁BD；
（2）试找出体对角线A₁C与平面AB₁D₁和平面C₁BD的交点E，F．并证明：A₁E=EF=FC．

Answer 1

分析 （1）由正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，可证B₁D₁∥BD；AD₁∥BC₁，又由B₁D₁∩AD₁=D₁，BD∩BC₁=B，即可判定平面AB₁D₁∥平面C₁BD；
（2）连接A₁C₁交B₁D₁于点O₁，平面AA₁CC₁交平面AB₁D₁和平面C₁BD于AO₁，C₁O；连接AO₁，则A₁C与AO₁，C₁O的交点即分别为E，F点，由AO₁∥C₁O，根据$\frac{{A}_{1}E}{EF}=\frac{{A}_{1}{O}_{1}}{{O}_{1}{C}_{1}}$，$\frac{CF}{FE}=\frac{CO}{OA}$，即可证明A₁E=EF=FC．

解答 证明：（1）∵已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，如图
∴B₁D₁∥BD；AD₁∥BC₁
∵B₁D₁∩AD₁=D₁，BD∩BC₁=B，
∴平面AB₁D₁∥平面C₁BD；
（2）如图，连接A₁C₁交B₁D₁于点O₁，平面AA₁CC₁交平面AB₁D₁和平面C₁BD于AO₁，C₁O；连接AO₁，
则A₁C与AO₁，C₁O的交点即分别为E，F点．
∴AO₁∥C₁O；
∴可得：$\frac{{A}_{1}E}{EF}=\frac{{A}_{1}{O}_{1}}{{O}_{1}{C}_{1}}$，即：A₁E=EF，
$\frac{CF}{FE}=\frac{CO}{OA}$，即有：CF=FE，
综上可得：A₁E=EF=FC．

点评 本题主要考查了平面与平面平行的判定，平面与平面之间的位置关系，考查了空间想象能力和推理论证能力，考查了转化思想，属于中档题．