Question

19．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，且当n≥2时，满足2a_n=S_n+n．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设b_n=n（a_n+1）（n∈N₊），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系式直接利用赋值法求出数列的各项的值．
（2）利用构造新数列的方法求出数列的通项公式．
（3）根据新数列的特点，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和．

解答 解：（1）数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，
且当n≥2时，满足2a_n=S_n+n，
则：当n=2时，2a₂=S₂+2
解得：a₂=4，
当n=3时，2a₃=S₃+3，
解得：a₃=9．
（2）由于：2a_n=S_n+n①，
则：2a_n-1=S_n-1+n-1②
所以①-②得：2（a_n-a_n-1）=S_n-S_n-1+1，
所以：a_n=2a_n-1+1，
整理得：a_n+1=2（a_n-1+1），
则：$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n-1}+1}=2（常数）$
所以：数列{a_n+1}是以a₁+1为首项，2为公比的等比数列．
即：${a}_{n}+1={（a}_{1}+1）•{2}^{n-1}$，
所以：${a}_{n}=3•{2}^{n-1}-1$．
（3）由于${a}_{n}=3•{2}^{n-1}-1$，
所以：b_n=n（a_n+1）=3n•2^n-1，
设数列c_n=n•2^n-1，前n项和为S_n，
则：S_n=c₁+c₂+…+c_n=1•2⁰+2•2¹+…+n•2^n-1③
$2{S}_{n}=1•{2}^{1}+2•{2}^{2}$+…+n•2ⁿ④
③-④得：-${S}_{n}=1+{2}^{1}+{2}^{2}$+…+2^n-1-n•2ⁿ
整理得：${S}_{n}=n•{2}^{n}-{2}^{n}-1$=（n-1）•2ⁿ-1
所以：${T}_{n}=3{S}_{n}=（3n-3）{2}^{n}-3$

点评 本题考查的知识要点：利用递推关系式求出数列的各项的值，利用构造新数列法求出数列的通项公式，利用乘公比错位相减法求出数列的前n项和．主要考查学生的应用能力和运算能力．