Question

7．设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，前n项的倒数之和为T_n，则$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$=a₁a_n．

Answer 1

分析 由等比数列的性质得到a₁a_n=a₂a_n-1=a₃a_n-2=…=a_na₁，变形为                                                                            $\frac{{a}_{1}}{\frac{1}{{a}_{n}}}=\frac{{a}_{2}}{\frac{1}{{a}_{n-1}}}=\frac{{a}_{3}}{\frac{1}{{a}_{n-2}}}=…\frac{{a}_{n}}{\frac{1}{{a}_{1}}}={a}_{1}{a}_{n}$，然后利用合比定理得答案．

解答 解：∵数列{a_n}为等比数列，∴a₁a_n=a₂a_n-1=a₃a_n-2=…=a_na₁，
∴$\frac{{a}_{1}}{\frac{1}{{a}_{n}}}=\frac{{a}_{2}}{\frac{1}{{a}_{n-1}}}=\frac{{a}_{3}}{\frac{1}{{a}_{n-2}}}=…\frac{{a}_{n}}{\frac{1}{{a}_{1}}}={a}_{1}{a}_{n}$，
∴$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$=$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}{\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{1}}}={a}_{1}{a}_{n}$．
故答案为：a₁a_n．

点评 本题主要考查等比数列的概念、等比数列的性质，考查了等比数列的前n项和，合比定理的应用是解决该题的关键，是中档题．