Question

2．在△ABC中，BC=5，G，O分别为△ABC的重心和外心，且$\overrightarrow{OG}•\overrightarrow{BC}$=5，则△ABC的形状是（　　）

• A． 锐角三角形
• B． 钝角三角形
• C． 直角三角形
• D． 上述三种情况都有可能

Answer 1

分析 在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，运用重心和外心的性质，运用向量的三角形法则和中点的向量形式，以及向量的平方即为模的平方，可得${\overrightarrow{AC}}^{2}-{\overrightarrow{AB}}^{2}=-30$，又BC=5，则有|$\overrightarrow{AB}$|²=|$\overrightarrow{AC}$|²+$\frac{6}{5}$|$\overrightarrow{BC}$|²＞|$\overrightarrow{AC}$|²+|$\overrightarrow{BC}$|²，运用余弦定理即可判断三角形的形状．

解答 解：在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，
取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，如图：
则OD⊥BC，GD=$\frac{1}{3}$AD，
∵$\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DG}$，$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，
由$\overrightarrow{OG}•\overrightarrow{BC}$=5，
则（$\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DG}$）$•\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{DG}•\overrightarrow{BC}$
=-$\frac{1}{6}$$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$•$\overrightarrow{BC}$=5，
即-$\frac{1}{6}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$•（$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$）=5，
则${\overrightarrow{AC}}^{2}-{\overrightarrow{AB}}^{2}=-30$，
又BC=5，
则有|$\overrightarrow{AB}$|²=|$\overrightarrow{AC}$|²+$\frac{6}{5}$|$\overrightarrow{BC}$|²＞|$\overrightarrow{AC}$|²+|$\overrightarrow{BC}$|²，
由余弦定理可得cosC＜0，
即有C为钝角．
则三角形ABC为钝角三角形．
故选：B．

点评 本题考查向量的数量积的性质和运用，主要考查向量的三角形法则和向量的平方即为模的平方，运用余弦定理判断三角形的形状是解题的关键．