Question

17．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=1，AB=BC=2，若M为四面体C₁BCD内的点（包含边界），则直线A₁M与平面A₁B₁C₁D₁所成角的余弦值的余弦的最小值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 首先找出直线A₁M与平面A₁B₁C₁D₁所成的角：过M作MN⊥平面A₁B₁C₁D₁，连接A₁N，从而∠MA₁N便是直线A₁M和平面A₁B₁C₁D₁所成角，并且可以得到，当cos∠MA₁N最小时，sin∠MA₁N=$\frac{MN}{{A}_{1}M}$最大．连接A₁B，A₁D，取BD中点O，并连接A₁O，可得到A₁O⊥BD，连接B₁D₁，并取其中点O₁，连接OO₁，O₁A₁，容易说明OO₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，从而便可以看出当M和O，N和O₁都重合时，sin∠MA₁N最大，而cos∠MA₁N最小，并能求出该最小值．

解答 解：如图，过M作MN⊥平面A₁B₁C₁D₁，垂足为N，连接A₁N，则∠MA₁N便是直线A₁M和平面A₁B₁C₁D₁所成角；

要使直线A₁M和平面A₁B₁C₁D₁所成角的余弦值最小，只要∠MA₁N最大；
∴此时，sin∠MA₁N=$\frac{MN}{{A}_{1}M}$取到最大值；
连接A₁B，A₁D，则△A₁BD为等边三角形；
取BD中点O，连接A₁O，则A₁O⊥BD，连接B₁D₁并取其中点为O₁，连接OO₁，O₁A₁，则：
OO₁⊥平面A₁B₁C₁D₁；
∴若M和O点重合，则：
此时MN=OO₁=1最大，${A}_{1}M={A}_{1}O=\sqrt{3}$最小，并且${A}_{1}{O}_{1}=\sqrt{2}$；
∴此时cos∠MA₁N=cos∠OA₁O₁=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$最小．
故选C．

点评 考查直线和平面所成角的概念及找法，直线和平面所成角的范围，正余弦函数在[0，$\frac{π}{2}$）上的单调性，而将找使cos∠MA₁N最小，转变成找使sin∠MA₁N最大的点M是求解本题的关键．