Question

9．如图，过圆外一点P作直线AB的垂线，垂足为F，交圆于C，E两点，PD切圆于D，连接AD交EP于G．
（1）求证：PD=PG；
（2）若AC=BD，求证：AB=ED．

Answer 1

分析 （1）证明PG=PD，只需证明∠PDG=∠PGD；
（2）证明Rt△BDA≌Rt△ACB，再证明∠DCE为直角，即可证明AB=ED．

解答 证明：（1）∵PD为切线，∴∠PDA=∠DBA，
∵AB为圆的直径，
∴∠BDA=90°，
∵AF⊥EP，
∴∠PFA=90°．
∴∠DBA=∠EGA，
∵∠PGD=∠EGA，
∴∠PDG=∠PGD，
∴PG=PD；
（2）连接BC，DC，则
∵AB为圆的直径，
∴∠BDA=∠ACB=90°，
在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD，
∴Rt△BDA≌Rt△ACB，
∴∠DAB=∠CBA，
∵∠DCB=∠DAB，
∴∠DCB=∠CBA，
∴DC∥AB，
∵AB⊥EP，
∴DC⊥EP，
∴∠DCE为直角，
∴ED为圆的直径，
∵AB为圆的直径，
∴AB=ED．

点评 本题考查圆的切线的性质，考查三角形全等的证明，考查直径所对的圆周角为直角，属于中档题．