Question

1．在正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，Q是CC₁的中点，F是侧面BCB₁C₁内的动点且A₁F∥平面D₁AQ，则A₁F与平面BCB₁C₁所成角的正切值得取值范围为[2，2$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 设平面AD₁E与直线BC交于点G，连接AG、EG，则G为BC的中点．分别取B₁B、B₁C₁的中点M、N，连接AM、MN、AN，可证出平面A₁MN∥平面D₁AE，从而得到A₁F是平面A₁MN内的直线．由此将点F在线段MN上运动并加以观察，即可得到A₁F与平面BCC₁B₁所成角取最大值、最小值的位置，由此不难得到A₁F与平面BCC₁B₁所成角的正切取值范围．

解答 解：设平面AD₁E与直线BC交于点G，连接AG、EG，则G为BC的中点
分别取B₁B、B₁C₁的中点M、N，连接AM、MN、AN，则
∵A₁M∥D₁E，A₁M?平面D₁AE，D₁E?平面D₁AE，
∴A₁M∥平面D₁AE．同理可得MN∥平面D₁AE，
∵A₁M、MN是平面A₁MN内的相交直线
∴平面A₁MN∥平面D₁AE，
由此结合A₁F∥平面D₁AE，
可得直线A₁F?平面A₁MN，即点F是线段MN上上的动点．
设直线A₁F与平面BCC₁B₁所成角为θ
运动点F并加以观察，可得：
当F与M（或N）重合时，A₁F与平面BCC₁B₁所成角等于∠A₁MB₁，
此时所成角θ达到最小值，满足tanθ=$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{{B}_{1}M}$=2；
当F与MN中点重合时，A₁F与平面BCC₁B₁所成角达到最大值，
满足tanθ=$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{{\frac{\sqrt{2}}{2}B}_{1}M}$=2$\sqrt{2}$，
∴A₁F与平面BCC₁B₁所成角的正切取值范围为[2，2$\sqrt{2}$]
故答案为：[2，2$\sqrt{2}$]．

点评 本题给出正方体中侧面BCC₁B₁内动点F满足A₁F∥平面D₁AE，求A₁F与平面BCC₁B₁所成角的正切取值范围，着重考查了正方体的性质、直线与平面所成角、空间面面平行与线面平行的位置关系判定等知识．