Question

14．已知△ABC的三个顶点都在抛物线y²=2x上，抛物线的焦点为F，若|AF|，|BF|，|CF|为等差数列，且点B的横坐标为$\frac{2}{3}$，则边AC的垂直平分线必经过点（　　）

• A． （1，0）
• B． （$\frac{4}{3}$，0）
• C． （$\frac{5}{3}$，0）
• D． （2，0）

Answer 1

分析 由焦点弦的性质可得：|AF|=${x}_{A}+\frac{1}{2}$，|BF|=$\frac{2}{3}+\frac{1}{2}$=$\frac{7}{6}$，|CF|=${x}_{C}+\frac{1}{2}$．设线段AC的中点为M（a，b），利用|AF|，|BF|，|CF|为等差数列可得：$a=\frac{2}{3}$，由于${y}_{A}^{2}=2{x}_{A}$，${y}_{C}^{2}=2{x}_{C}$，相减可得：bk_AC=1．线段AC的垂直平分线的方程为：y-b=-b（x-$\frac{2}{3}$），即可得出定点．

解答 解：|AF|=${x}_{A}+\frac{1}{2}$，|BF|=$\frac{2}{3}+\frac{1}{2}$=$\frac{7}{6}$，|CF|=${x}_{C}+\frac{1}{2}$，
∵|AF|，|BF|，|CF|为等差数列，
∴2|BF|=|AF|+|CF|，
∴$\frac{7}{3}$=${x}_{A}+\frac{1}{2}$+${x}_{C}+\frac{1}{2}$，
化为x_A+x_C=$\frac{4}{3}$．
设线段AC的中点为M（a，b），则$a=\frac{2}{3}$，
∵${y}_{A}^{2}=2{x}_{A}$，${y}_{C}^{2}=2{x}_{C}$，
∴$\frac{（{y}_{A}+{y}_{C}）（{y}_{A}-{y}_{C}）}{{x}_{A}-{x}_{C}}$=2，
∴2bk_AC=2，即bk_AC=1．
∴线段AC的垂直平分线的斜率k=-$\frac{1}{{k}_{AC}}$=-b，
其方程为：y-b=-b（x-$\frac{2}{3}$），
因此必过定点$（\frac{5}{3}，0）$．
故选：C．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、焦点弦长公式、线段的垂直平分线方程、“点差法”、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．