Question

2．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠CDA=90°，PA⊥平面ABCD，PA=AD=AB=2，CD=1，M，N分别是PD、PB的中点．
（1）证明：直线NC∥平面PAD；
（2）求平面MNC与地面ABCD所成的锐二面角的余弦值．
（3）求三菱锥P-MNC的体积V．

Answer 1

分析 （1）由已知想到取PA中点Q，连接NQ，DQ，然后利用三角形的中位线定理证明NC∥DQ，再由线面平行的判断得答案；
（2）找出平面MNC与底面ABCD的交线，然后利用三垂线定理得到平面MNC与底面ABCD所成的锐二面角，再通过解直角三角形得答案；
（3）利用等积法求出A到平面PMN的距离，得到C到平面PMN的距离，再求出平面PMN的面积，得到三棱锥C-PMN的体积，即三菱锥P-MNC的体积V．

解答 （1）证明：如图，
取PA中点Q，连接NQ，DQ，
∵N、Q分别为PB、PA的中点，∴NQ∥AB，NQ=$\frac{1}{2}AB$，
又DC∥AB，DC=$\frac{1}{2}AB$，∴NQ∥DC，NQ=DC，
则四边形DCNQ为平行四边形，∴NC∥DQ，
DQ?面PAD，NC?面PAD，∴直线NC∥平面PAD；
（2）解：连接BD，∵M、N分别为PD、PB中点，
∴MN∥BD，过C作l∥BD，则MN∥l，
∴平面MNC∩平面ABCD=l，取AD中点S，连接CS，
∴CS⊥l，连接MC，则∠MCS为平面MNC与底面ABCD所成的锐二面角，
∵PA=AD=AB=2，CD=1，
∴MS=1，SC=$\sqrt{2}$，则MC=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}=\sqrt{3}$，
∴cos$∠MCS=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$；
（3）解：设SC∩BD=R，由题意可得：SR=CR，
∴C与S到平面PMN的距离相等，又S为AD的中点，
∴S到平面PMN的距离等于A到平面PMN距离的一半，
设A到平面PMN距离为h，
由PA⊥AB⊥AD，PA=AD=AB=2，
则由等积法得：$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{6}$h，解得h=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴C到平面PMN的距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
又三角形PMN为边长是$\sqrt{2}$的正三角形，∴${S}_{△PMN}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴${V}_{P-MNC}=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{6}$．

点评 本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．